Factorizacion de Productos Notables

Productos notables

Los productos notables son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Estas operaciones son fáciles de recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación correspondiente.

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la suma por si misma:
negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a negrita por negrita a negrita más negrita a negrita por negrita b negrita más negrita b negrita por negrita a negrita más negrita b negrita por negrita b negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2

Regla del cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Representación gráfica del cuadrado de la suma de dos cantidades

productos notables cuadrado de una suma
El cuadrado de la suma de a y b se representa como un cuadrado compuesto por los cuadrados de a y de b y dos rectángulos cuyos lados son a y b.
Podemos representar gráficamente el cuadrado de la suma de dos cantidades cuando los valores son positivos. Así, la suma de dos cantidades positivas al cuadrado será igual a la suma de:
  • un cuadrado con sus lados iguales a la primera cantidad;
  • un cuadrado con sus lados iguales a la segunda cantidad, y
  • dos rectángulos cuyos lados son iguales a la primera y la segundad cantidad.
Como podemos ver, el cuadrado resultante tendrá un área igual a (a+b) por (a+b)= (a+b)2

2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya resta está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la resta por si misma:
negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a negrita por negrita a negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2
Recordemos que dos números negativos cuando se multiplican, el signo resultante es positivo:
negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita b elevado a negrita 2

Regla del cuadrado de la resta de dos cantidades

El cuadrado de la resta de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces el primer término por el segundo término, más el cuadrado de la segunda cantidad.

3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados)

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho
En este caso, la multiplicación se realiza de la siguiente forma;
negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a negrita por negrita a negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita por negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita ab negrita más negrita ab negrita menos negrita b elevado a negrita 2 negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 2

Regla del producto de la suma por la resta de dos cantidades

La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

4. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a+b-c)

Este producto lo podemos transformar en la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia:
negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita menos negrita c negrita paréntesis derecho negrita igual negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita c negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita menos negrita c negrita corchete derecho negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita menos negrita c elevado a negrita 2 negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita c elevado a negrita 2

5. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a-b-c)

En este caso se realiza lo siguiente:
  • los términos negativos del trinomio se agrupan en paréntesis con el signo negativo delante, por lo que estos términos negativos pasan a ser positivos.
  • Luego en el trinomio de las sumas se agrupan los mismos términos.
Esto queda de la siguiente forma:
negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita menos negrita b negrita menos negrita c negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita igual negrita corchete izquierdo negrita a negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita a negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho
Ahora se puede desarrollar como un producto de la suma por la resta de dos cantidades:
negrita corchete izquierdo negrita a negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita corchete izquierdo negrita a negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho negrita corchete derecho negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita más negrita c negrita paréntesis derecho elevado a negrita 2 negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita b elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita bc negrita más negrita c elevado a negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita bc negrita menos negrita c elevado a negrita 2

6. Cubo de la suma de dos cantidades

negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho elevado a negrita 3
En el cubo de un binomio tenemos lo siguiente:
abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 2 abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis
Podemos desarrollar el cuadrado de la suma y luego multiplicarlo por (a+b):
abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 2 abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita a elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita más negrita 2 negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita ab elevado a negrita 2 negrita más negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita 2 negrita ab elevado a negrita 2 negrita más negrita b elevado a negrita 3 negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita más negrita 3 negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita 3 negrita ab elevado a negrita 2 negrita más negrita b elevado a negrita 3

Regla del cubo de la suma de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, más 3 seguido del cuadrado del primero por el segundo, más 3 seguido del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

7. Cubo de la resta de dos cantidades

abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 3
En el cubo de un binomio con una resta tenemos lo siguiente:
abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 3 negrita igual abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 2 abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis
Podemos desarrollar el cuadrado de la resta y luego multiplicarlo por (a-b):
abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis elevado a negrita 2 abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis negrita igual abrir paréntesis negrita a elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita ab negrita más negrita b elevado a negrita 2 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita a negrita menos negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita menos negrita 2 negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita ab elevado a negrita 2 negrita menos negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita 2 negrita ab elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 3 negrita igual negrita a elevado a negrita 3 negrita menos negrita 3 negrita a elevado a negrita 2 negrita b negrita más negrita 3 negrita ab elevado a negrita 2 negrita menos negrita b elevado a negrita 3

Regla del cubo de la resta de un binomio

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado de la primera por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

8. Producto de dos binomios con tres cantidades diferentes

abrir paréntesis negrita x negrita más negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita b cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita b cerrar paréntesis

Primer caso

abrir paréntesis negrita x negrita más negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita x negrita más negrita ab

Segundo caso

abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho abrir paréntesis negrita x cerrar paréntesis negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita paréntesis izquierdo negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita x negrita más negrita ab

Tercer caso

abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita a cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita b cerrar paréntesis negrita igual negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho abrir paréntesis negrita x cerrar paréntesis negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita paréntesis derecho negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita b negrita paréntesis derecho negrita igual negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita paréntesis izquierdo negrita menos negrita a negrita más negrita b negrita paréntesis derecho negrita x negrita menos negrita ab

Regla del producto de dos binomios con tres cantidades diferentes

El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios; en el segundo término del producto, el coeficiente es la suma o resta de los segundos términos de cada binomio y la x está elevada a la mitad del exponente que tiene la x en el primer término; el tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.
A continuación  les dejo un vídeo para que entiendan mucho mejor sobre los productos notables:


Factorizacion de Productos Notables Factorizacion de Productos Notables Reviewed by Carla Huaynapicho on 8:27 a.m. Rating: 5

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